L’intelligence artificielle accélère les progrès en mathématique

« L'Express : En juillet, OpenAI a annoncé que son modèle expérimental Astra avait réalisé de manière autonome dix avancées en mathématiques et informatique théorique. S'agit-il de progrès solides et significatifs ?

François Charles : J'en ai regardé certaines en détail. Des experts en ont examiné d'autres. Et OpenAI a fourni des formalisations automatiques -en utilisant le système Lean. Tout indique un travail sérieux et de vraies avancées. Plusieurs d'entre elles sont ce qu'on appelle des contre-exemples à des conjectures (NDLR : des intuitions mathématiques qui n'ont pas encore été démontrées). Il y a ainsi un contre-exemple à la conjecture de rigidité de Connes, posée dans les années 1980 par Alain Connes, un mathématicien français médaillé Fields. Les spécialistes de ce domaine supputaient depuis un certain temps qu'il existait un contre-exemple mais ils ne l'avaient pas identifié. L'IA y est parvenue. Ces dix avancées ne sont que la partie visible de l'iceberg. Les mathématiciens se mettent à utiliser massivement l'IA. En dialoguant avec ces modèles, beaucoup de mes collègues franchissent des barrières théoriques sur lesquelles ils butaient. Le progrès est très rapide. Cet été encore, un mathématicien employé chez Anthropic a annoncé sur les réseaux sociaux que Claude avait planché sur une célèbre conjecture de géométrie algébrique, la conjecture jacobienne, pendant la durée de la finale de la Coupe du Monde et trouvé un remarquable contre-exemple. Il semble si évident quand on le lit que c'en est presque vexant pour nous. Mais tout semble toujours simple une fois qu'on a la solution.

[L’Express] Comment l'intelligence artificielle va-t-elle modifier les mathématiques ?

[F.C.] Terence Tao, médaillé Fields en 2006, prédit que les progrès de l'IA pourraient ouvrir une ère de "mathématiques de haut niveau". Je suis optimiste. Je ne crois pas que le travail intellectuel sera remplacé par l'IA. Celle-ci est extrêmement puissante, mais elle ne se substitue pas à ce que nous faisons. Elle peut néanmoins nous aider à débloquer un grand nombre de questions sur lesquelles nous patinons. C'est le moment d'être ambitieux en mathématiques. L'histoire du XXe siècle est celle de la professionnalisation du milieu universitaire et d'une spécialisation scientifique extrême. J'espère le mouvement inverse. Des liens entre des domaines complètement insoupçonnés vont apparaître. Nous vivons une révolution scientifique. Certaines façons de faire deviendront obsolètes. Mais une révolution scientifique crée du travail et des questions.

[L’Express] A quels niveaux exactement l'IA accélère-t-elle les mathématiques ? Excelle-t-elle avant tout à démolir des conjectures ?

[F.C.] C'est l'idée qui circule depuis quelques semaines. Beaucoup de questions ouvertes ont des contre-exemples, et l'IA est en effet très efficace pour les débusquer. Parfois de manière totalement autonome, comme dans le cas des annonces d'OpenAI. L'équipe maison de scientifiques a opéré la sélection des problèmes et la vérification. Mais entre les deux, la machine a œuvré seule. Parfois les avancées se font en collaboration. Cette semaine, un chercheur américain qui travaille depuis des années sur le problème période-indice a posté en prépublication un contre-exemple qu'il a trouvé en discutant avec ChatGPT. Dans ce cas précis, l'IA lui a donné des contre-exemples erronés mais qui l'ont néanmoins guidé vers la bonne piste. Ces modèles sont de formidables partenaires de réflexion. Le simple fait de formuler à voix haute ce qu'on pense et d'en parler à un outil qui comprend et répond de manière sensée est précieux. L'IA aide aussi les mathématiciens qui ont une intuition à réaliser bien plus vite les étapes de vérification et de formalisation intermédiaires qui prennent des mois voire des années. A plus long terme, je suis convaincu que l'IA viendra à bout de problèmes mathématiques irrésolus en établissant des passerelles entre différentes disciplines.

[L’Express] En 2023, les IA étaient incapables de faire des mathématiques élémentaires et se trompaient sur de simples additions. Qu'est ce qui les a fait progresser si spectaculairement ?

[F.C.] Les premières versions de ChatGPT n'avaient pas de capacité de raisonnement. Aujourd'hui, les LLM sont devenus hybrides : le système sait reconnaître quand un calcul s'impose et appeler un programme tiers (calculatrice, etc.) pour le faire proprement. Il identifie mieux les cas où une recherche Internet est requise pour éviter l'erreur. Bref, il réfléchit à la question, aux outils nécessaires pour y répondre au mieux, les utilise et se vérifie. Grâce à cela, l'IA a fait des progrès phénoménaux en maths.

[L’Express] L'IA inquiète aussi dans la communauté mathématique. Pour quelles raisons ?

[F.C.] Il y a des craintes légitimes autour de l'enseignement. Le cerveau humain est fait de telle sorte que nous avons besoin de nous approprier les choses pour les apprendre. Utilisée intensivement pendant la période d'études, l'IA peut faire des dégâts. Le fait que le monde ne soit pas structuré pour les changements que l'IA va apporter inquiète également. Jusqu'ici, il y avait une barrière, un coût à la production de textes de qualité formelle. Ce ne sera plus le cas demain. Dès lors, où se déplacera la valeur dans la science ? La question va se poser. La peur d'être remplacé, de devenir obsolète se diffuse dans la communauté mathématique.

Personnellement, je n'y crois pas. Le travail de compréhension est intrinsèquement humain. Même si une machine résolvait tous les problèmes, il faudrait les comprendre. Sinon cela n'a pas de sens. Pour certains, faire de la science va beaucoup plus loin que produire de la science. C'est un état d'esprit, une façon d'être, quelque chose de très humain.

[L’Express] Les mathématiques ne vivent pas leur première crise existentielle. Les travaux de Gödel et Russell n'avaient ils pas déjà bouleversé votre discipline ?

[F.C.] En effet, à la fin du XIXe siècle, la discipline a vécu un tournant. Les mathématiques étaient devenues plus avancées, plus abstraites. Mais ce milieu n'utilisait pas encore de définitions très formalisées. Le besoin ne s'en était pas fait sentir. Jusqu'à ce que les travaux de Cantor, de Gödel ou encore de Russel montrent, à différents niveaux, l'utilité d'avoir des fondations plus solides. Qu'est-ce qu'un nombre, qu'est-ce que l'infini? Sans ce socle, de bêtes contradictions persistent. Le moment est fascinant, parce qu'il précède l'arrivée de l'ordinateur et la Seconde Guerre mondiale. Alan Turing fait de la logique avant l'existence des machines et réfléchit à ce qu'on appelle aujourd'hui la machine de Turing : une version abstraite et théorique de ce qui est devenu ensuite l'ordinateur. Turing en a déterminé certaines capacités et certaines limites avant le développement de l'informatique. Gödel démontre des résultats d'impossibilité - les mathématiques ne peuvent pas tout prouver, le langage a des limitations intrinsèques. Turing comprend que cela va de pair avec des limitations intrinsèques du calcul. Les mathématiques ont vécu un bouleversement mais cela a permis de mieux comprendre ce que peuvent le langage et les machines. Les fondations de la discipline ont été assainies. Et cela s'est bien combiné avec la naissance de l'informatique. La notion de calcul et de programme découle directement de ces travaux. Aujourd'hui, c'est ce paradigme que nous quittons. Le paradigme informatique d'un programme déterministe à qui l'on donne des instructions, en sachant ce qu'il renverra. Les réseaux de neurones sont probabilistes, ce qui pose des problèmes de sécurité. Comme on ne sait pas prédire a priori le comportement d'un LLM, il est difficile de garantir l'absence d'erreur, mais aussi de garantir que son comportement soit conforme à certaines garanties de sécurité. C'est ce que l'on appelle le problème de l'alignement en IA, qui devrait garantir que l'IA reste sécurisée et que ses propres buts ne s'éloignent pas de ceux donnés par l'humain.

[L’Express] La Chine monte en puissance dans le champ mathématique. La médaille Fields attribuée à Wang Hong l'a récemment rappelé. En 2026, à quel niveau l'enseignement mathématique français et européen se situe-t-il comparé à celui des deux puissances américaine et chinoise ?

[F.C.] Aux États-Unis, le paysage est très hétérogène : il y a d'excellentes formations et de bien moins bonnes. Mais le pays reste un très grand creuset de science, qui continue d'attirer les talents. La Chine, quant à elle, a longtemps eu une place scientifique trop petite au regard de sa taille. Le rattrapage actuel est normal. Ses grandes universités (Pékin, Shanghai) sont désormais au meilleur niveau. Leur accélération est très forte. Dans ce contexte, la place de la France et de l'Europe est menacée. Il nous faut investir pour attirer les meilleurs chercheurs et ouvrir des places pour les étudiants. Rapporté à la taille de la France, le nombre de places dans notre enseignement supérieur d'élite est nettement inférieur au ratio américain.

[L’Express] Les Etats-Unis et la Chine produisent aujourd'hui les meilleurs LLM. L'Europe ne joue pas dans la même cour. Quel risque cela pose-t-il ?

[F.C.] Un fossé mathématique important pourrait se creuser entre les pays ayant des IA de pointe et les autres. Avoir accès aux modèles du meilleur niveau est essentiel, tout comme l'accès aux meilleurs instruments en science expérimentale. Je ne peux que souhaiter des outils communautaires, et l'échelle pertinente pour cela n'est pas la France mais l'Union européenne. Il ne s'agit pas d'évacuer les risques sociétaux et environnementaux de l'IA. Mais l'Europe doit les mettre en regard de l'importance de ce qui se joue, et de la nécessité d'investir. Nous sommes dans une phrase où tout bouge très vite. Il est indispensable que nous, scientifiques, puissions expérimenter. Réguler trop violemment l'IA pénaliserait l'Europe.

[L’Express] Craignez-vous que les États-Unis et la Chine prennent une avance décisive en mathématiques ?

[F.C.] Absolument. La France a une culture mathématique très forte. L'Europe est un grand lieu de mathématiques. Si ces IA de pointe ne nous étaient plus accessibles, le danger serait énorme. Or, on ne peut exclure que les États-Unis décident un jour de restreindre l'accès à leurs modèles à certains pays. Les droits de douane l'ont montré : cette administration a la rétorsion facile, et les relations internationales changent.

[L’Express] Que pensez-vous du rapport de Michael Kratsios, conseiller scientifique de Donald Trump ? Il prend un virage protectionniste, mais contient aussi des mesures qui pourraient accélérer la recherche américaine.

[F.C.] Depuis la chute du Mur, nous avons vécu une ouverture scientifique considérable. Je ne peux que souhaiter que cela dure. Cela joue un rôle clé dans les progrès de l'humanité. Je déplore tout tournant protectionniste, quel que soit le pays. L'idée que l'IA fera le travail des scientifiques à leur place est malavisée. Ceux qui exploitent le mieux ces outils sont ceux qui ont une expertise. Il faut des gens capables de comprendre comment marche une IA, quelles sont ses architectures, ce qu'on peut en faire. Les mathématiques existent depuis 2 500 ans. Ce serait avoir la vue courte que de penser qu'elles devraient s'arrêter là, à l'heure de l'IA.

[L’Expres] Expliquez-nous comment des avancées dans des problèmes mathématiques très abstraits, comme les dix étudiés par OpenAI, peuvent débloquer des progrès très concrets. Par exemple, celui de l'empilement des sphères ?

[F.C.] Je n'en suis pas spécialiste, mais c'est un ancien problème fascinant, résolu dans certaines dimensions par Maryna Viazovska, médaille Fields 2022. En "dimension 3", celle dans laquelle nous vivons, la manière d'empiler des sphères est intuitive. Quiconque a déjà cherché à empiler des oranges intelligemment sait qu'il faut les mettre en quinconce. Viazovska a employé des techniques très différentes pour déterminer la manière optimale d'empiler un maximum de sphères dans des dimensions supérieures. A ma connaissance, cela n'a pas de retombées directes dans le monde réel. Mais ce qui est utile, ce sont les techniques développées en chemin, pour travailler en grandes dimensions. Beaucoup de secteurs en ont besoin, notamment l'IA puisque les modèles ont énormément de paramètres.

[L’Express] Que fera la communauté mathématique si, demain, l'IA produit des démonstrations que les scientifiques ne comprennent plus ?

[F.C.] La question revient souvent. Nous verrons le moment venu. Pour l'heure, les démonstrations sont tout à fait compréhensibles. Ce sont des mathématiques avancées, parfois mal écrites mais je n'ai jamais vu l'IA générer une démonstration inhumaine, non compréhensible. Ce serait, en effet, un problème scientifique majeur à résoudre.

[L’Express] Et si cette démonstration produisait un résultat utile, applicable ? Vaudrait-il la peine de s'en servir sans comprendre ?

[F.C.] C'est une situation à laquelle les scientifiques sont en réalité assez habitués. Lorsqu'une idée très complexe et importante émerge, nous passons des semaines à nous réunir et à ne discuter que de cela jusqu'à faire la lumière. Lorsqu'on apprend, jeune, les mathématiques, c'est dans le fond assez similaire : quelqu'un de beaucoup plus intelligent vous explique des choses qui n'ont à ce stade aucun sens pour vous. Le travail scientifique est précisément de se confronter à ce qu'on comprend mal. Si l'IA me donne une démonstration incompréhensible d'un résultat invraisemblable, mais qu'il y a des raisons de croire qu'elle contient quelque chose d'important, j'en serai ravi. Je regarderai avec intérêt. La question se poserait différemment si aucun humain ne parvenait plus à comprendre le raisonnement de l'IA. Mais je ne parviens pas vraiment à me représenter ce scénario. C'est prématuré d'y penser.

[L’Express] L'IA pourrait-elle produire tant de résultats intéressants que le travail des mathématiciens se résume à les trier et les comprendre ?

[F.C.] Nous avons besoin d'une réflexion. La communauté s'organise à mesure que les outils progressent. Il est possible en effet qu'une partie de notre travail consiste à organiser ce savoir. Mais voyez ce qu'il s'est passé avec la calculatrice. Au XVIIIe et XIXe siècle, les mathématiciens faisaient des calculs prodigieux. Toute cette expertise est devenue largement obsolète avec la calculatrice. Mais aujourd'hui, je ne passe pas mon temps à m'extasier de tous les calculs que mon ordinateur peut produire et à les essayer un par un. Je sais que je n'ai pas besoin de les faire. Cela libère mon temps pour d'autres tâches.

[L’Express] Quelles sont les limites actuelles de l'IA dans les mathématiques ?

[F.C.] Faire écrire vingt pages de raisonnement à ChatGPT ou à Claude reste compliqué. Les modèles n'ont pas la capacité technique de gérer des contextes de très grande taille. Or en mathématiques modernes, une démonstration de cent pages est chose courante. Même guidée par un expert, l'IA se trompe également quand on la pousse dans ses retranchements. Il est donc indispensable de relire et vérifier ce qu'elle affirme. C'est une question d'éthique scientifique. L'auteur d'un texte est responsable des erreurs qu'il contient. Publier un texte qu'on n'a pas relu en détail est une malfaçon. L'IA peut enfin vous suggérer des idées, des points de raisonnement intéressants sans les sourcer correctement. Il faut se montrer très attentif à cela. Ne pas citer l'auteur de travaux sur lesquels vous vous appuyez est un problème majeur, et l'IA, qui s'appuie dans son entraînement sur le travail de tous les scientifiques, peut avoir tendance à masquer les travaux qu'elle utilise. A qui attribuer une avancée obtenue partiellement, voire totalement, par l'IA ? La communauté y réfléchit activement. La récente déclaration de Leiden, qui énonce quelques principes généraux sur l'utilisation éthique de l'IA en maths, ouvre une réflexion sur l'auteur. Une machine ne peut pas endosser la responsabilité scientifique de l'étude. Il n'est donc pas raisonnable qu'elle signe. En revanche, il est raisonnable de déclarer l'usage qu'on en a fait. La frontière est floue.

Qu'est-ce que l'usage de l'IA? Aujourd'hui, une simple recherche Google passe par une couche d'IA. Mais s'il y a eu un apport scientifique significatif de l'IA, il est important de le dire.

[L’Express] L'enseignement des mathématiques doit-il évoluer à l'ère de l'IA ?

[F.C.] Faire des mathématiques à un niveau raisonnable suppose d'internaliser énormément de concepts. Il n'y a pas d'autres issues pour cela que de réfléchir seul, sans téléphone ni ordinateur, à des questions difficiles. L'usage de l'IA doit donc être très encadré. De la même manière qu'on a prévu des plages d'exercices sans calculette car il est crucial de maîtriser des bases de calcul mental. Mes collègues du primaire comme du supérieur font face à un problème de triche extrêmement difficile à gérer. Pour autant, lIA aura aussi des effets positifs sur l'enseignement. Un problème récurrent est que les élèves ne posent pas assez de questions car ils ont peur d'avoir l'air bête. L'IA les décomplexe. Par ailleurs, elle démocratise l'accès à de l'information mathématique de haut niveau. Quelqu'un qui n'appartient pas à de grandes institutions peut poser aujourd'hui une question scientifique très pointue à l'IA et obtenir une réponse plutôt éclairée. C'est une excellente chose.

[L’Express] Pourquoi l'IA progresse-t-elle plus vite en mathématiques qu'en physique ou en sciences du vivant ?

[F.C.] Notre rapport au réel est plus ténu que dans les sciences dures expérimentales. Les mathématiques sont avant tout du texte. Or, les IA génératives sont faites pour traiter et produire du texte. En revanche, leur faire mener une expérience physique est une autre paire de manches, même si beaucoup de gens y travaillent. OpenAI et Anthropic ont par ailleurs décidé, pour des raisons de stratégie commerciale, que les mathématiques les intéressaient. Il y a un prestige des mathématiques, une vision de l'intelligence qui leur est associée. Notre discipline est du reste propice à la vérification. Contrôler qu'une démonstration mathématique est juste est bien moins subjectif que vérifier l'exactitude d'une traduction. En 2023, les erreurs des IA constituaient un défi majeur. Les mathématiques étaient donc un terrain de jeu idéal. Le code aussi, pour les mêmes raisons : c'est du texte, c'est vérifiable, avec en plus un intérêt économique considérable.

Le dernier facteur qui peut expliquer les progrès plus rapides de l'IA en mathématiques est que cette discipline évolue dans une culture de science ouverte. En sciences du climat ou en santé, la collecte de données peut requérir une expédition en Antarctique, un essai médical très onéreux. Ces données ayant beaucoup de valeur, les institutions et les entreprises sont sans doute plus réticentes à les partager avec une IA. A l'inverse, dans notre discipline, nous ne manions pas de données propriétaires sensibles. Presque toute la littérature mathématique est en ligne. »

-Anne Cagan, "L'IA viendra à bout de problèmes mathématiques irrésolus" : les explications limpides de François Charles (Normale Sup) », L’Express, 11 août 2026.